基本情報の集合演算をベン図と人数の例題で理解する

基本情報の集合演算は、和集合なら「少なくとも片方」、積集合なら「両方」、補集合なら「全体のうち対象以外」、差集合なら「一方から重なりを除く」と読み替えると整理できます。人数を求める問題では、集合の名前と、その集合に入る人数を分けて考えるのが出発点です。

この記事では、ベン図を四つの領域に分ける方法から、二つ・三つの集合の人数計算までを独自の例題で確認します。図の色や写真の個数を読み取らなくても解けるよう、必要な条件と答えは本文と表に示します。登場する人数・参加状況は説明用に作成した架空の設定です。

基本情報の集合演算を領域で見分ける

全体集合と四つの領域を先に決める

全体集合Uは、いま考えている対象のすべてです。講座の受講者について調べるなら「その講座の受講者全員」をUにします。「動画を見た人」をA、「演習をした人」をBと決めると、AとBはUの中にある集合です。対象外の人を後から補集合へ足してはいけません。

ベン図では、四角をU、二つの円をA・Bとすると見通しがよくなります。円が重なる一般的な図なら、Uの中は「Aだけ」「AとBの両方」「Bだけ」「どちらでもない」の四領域に分かれます。各要素は、必ずこのうち一つだけに属します。

まず人数の大きな問題ではなく、受講者番号を列挙できる小さな例を使いましょう。U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}、A＝{1,2,3,4,5,6,7}、B＝{5,6,7,8,9}とします。番号は一人を一意に表し、一人を二度は数えません。

領域	受講者番号	人数
Aだけ	1、2、3、4	4人
AとBの両方	5、6、7	3人
Bだけ	8、9	2人
どちらでもない	10、11、12	3人

Aの円全体は「Aだけ」と「両方」を合わせたものなので7人です。「Aの人数」をAだけの4人と読み違えると、その後の引き算がすべてずれます。同じように、Bは2人ではなく、共通部分の3人を含む5人です。

要素を持たない集合は空集合といい、∅と書きます。空集合そのものと、人数が0という数値は別です。集合の要素数はn(A)と書くことにし、この例ではn(U)＝12、n(A)＝7、n(B)＝5です。集合を求める質問には番号の集まり、人数を求める質問には個数で答えます。

全体集合・空集合・集合の基本的な記号は、愛媛大学の情報数学I「集合、集合の演算」でも確認できます。以下の番号の配置と例題は、これらの定義を使った独自の学習例です。

和集合は重なりも含めて合わせる

和集合A∪Bは、AまたはBの少なくとも片方に属する要素の集合です。ベン図なら、二つの円の内部を重なりごと選びます。先ほどの番号では{1,2,3,4,5,6,7,8,9}が答えで、人数は9人です。Uのうち10・11・12は入りません。

注意したいのは、「または」が片方だけという意味ではないことです。5・6・7はAにもBにも属しますが、AまたはBという条件を満たしています。和集合では、この3人を除外しません。普段の会話で「どちらか一つを選んで」と言う場面とは区別しましょう。

もう一つの落とし穴は、Aの7人とBの5人を足して12人とすることです。番号5・6・7を二度ずつ数えているため、足した後に重複分の3人を一度引きます。7＋5−3＝9となり、列挙した番号の数と一致します。

一方、「どちらか一方だけ」と明記されているなら、Aだけの4人とBだけの2人を合わせた6人です。これは和集合全体から、両方に属する3人を除いた結果です。問題文に「少なくとも」「一方だけ」「両方を除く」のどれがあるかに印を付けると、集合を選ぶ段階の誤りを防げます。

積集合は両方に共通する部分

積集合A∩Bは、AとBの両方に属する要素の集合です。二つの円が重なる部分だけを選ぶので、この例では{5,6,7}、人数は3人です。「動画も見て、演習もした」という二つの条件を同時に満たす人を残します。

積という名前でも、人数を掛ける操作ではありません。Aが7人、Bが5人だから35人という計算にはなりません。人数は、二つの集まりに同じ人が何人いるかで決まります。AとBの人数だけを知っても、共通部分の人数は一般には一つに定まりません。

記号の見た目に迷ったら、まず求める人を日本語で一文にします。「動画を見た人、または演習をした人」なら∪、「動画を見たうえで演習もした人」なら∩です。円を塗る問題でも、塗られている領域がAだけを含むかどうかを確認すれば、和と積を区別できます。

二つの集合がまったく重ならない場合、A∩B＝∅です。この場合に限って、和集合の人数はn(A)＋n(B)だけで求められます。図が離れて描かれているかだけで決めず、問題文が重なりなしを条件としているかを確認してください。見やすい概念図の距離や面積は、人数の根拠になりません。

補集合と差集合は残す範囲が違う

Aの補集合は、Uの中でAに属さない要素の集合です。ここではAの補集合をAᶜと書きます。上線付きのAなど別の書き方もありますが、意味は同じです。例のAᶜは{8,9,10,11,12}で、Bだけの領域と、どちらでもない領域を含みます。

「Aではない人」を、すぐBの人と読み替えてはいけません。Bには、Aにも属する5・6・7が含まれています。一方でAᶜには、Bに属さない10・11・12も入ります。Aの外側とBの円は同じ領域ではないためです。

差集合A−Bは、Aに属する要素からBにも属する要素を取り除いた集合です。左側のAを出発点とし、重なりを除くので{1,2,3,4}になります。右側のBだけや、二つの円の外側を追加することはありません。

向きを逆にしたB−Aは{8,9}です。A−BとB−Aは、一般に異なる集合になります。計算の前に「誰を対象に残すのか」を確認してください。「動画を見たが演習をしていない人」はA−B、「演習をしたが動画を見ていない人」はB−Aです。

集合式	選ぶ領域	この例の人数
Aᶜ	Bだけ＋どちらでもない	2＋3＝5人
A−B	Aだけ	4人
B−A	Bだけ	2人
(A∪B)ᶜ	どちらでもない	3人
(A∩B)ᶜ	Aだけ＋Bだけ＋どちらでもない	4＋2＋3＝9人

差集合はA−B＝A∩Bᶜとも表せます。Aの中にいて、かつBの外にいる人を選ぶからです。A−Bの人数をn(A)−n(B)とするのは誤りで、取り除くのはB全体ではなくAとBの共通部分です。今回なら7−5ではなく7−3＝4人になります。

補集合を考える途中でUを変えないことも大切です。同じ「未受講者」でも、対象が部署の12人なのか会社全体の100人なのかで集合は変わります。全体集合が不明な問題で、補集合の具体的な要素や人数を勝手に確定しないでください。

括弧と補集合は内側から確かめる

複合した式では、まず括弧の中がどの領域を指すかを決めます。(A∪B)ᶜは、AとBのどちらかに入る領域全体を選び、その全体をUの中で裏返します。残るのは「AにもBにも属さない」領域だけで、例では10・11・12です。

一方、Aᶜ∪Bᶜは、「Aに属さない」か「Bに属さない」の少なくとも一方を満たす人です。Aだけの人はBに属さないので入ります。Bだけの人もAに属さないので入り、どちらでもない人も入ります。外れるのは両方に属する5・6・7だけです。

この違いを整理するのがド・モルガンの法則です。(A∪B)ᶜ＝Aᶜ∩Bᶜ、(A∩B)ᶜ＝Aᶜ∪Bᶜが成り立ちます。補集合の記号を括弧の内側へ移すときは、各集合を補集合にするだけでなく、∪と∩も入れ替えます。

「両方ではない」と「両方とも違う」を比べると意味を確認できます。前者はAだけ・Bだけ・どちらでもないを含み、後者はどちらでもないだけです。日本語が似ていても、否定している対象が「両方を満たすこと」か「各条件」かで答えが変わります。

また、A⊆Bと与えられた場合は、Aのすべての要素がBにも属します。そのためA∩B＝A、A∪B＝B、A−B＝∅です。等しい場合も含むという意味で、この本文では⊆を使います。問題ごとの記号の定義にも従いましょう。

集合の演算・包含・ド・モルガンの法則の定義と性質は、東邦大学の情報数理A「集合」で確認できます。記号を変形できるかだけでなく、四つの領域のどれが残るかを説明できると理解が安定します。

入力の0・1やAND・ORの出力を調べたい場合は、基本情報の論理演算と真理値表で確認できます。集合を要素の集まりとして読む練習と、論理式の出力を埋める練習を分けると、何を答える問題かが明確になります。

基本情報の集合演算を人数の例題で解く

二集合の人数は重複を一度引く

ここからは、要素をすべて並べずに人数で計算します。Uを学習会の参加者60人、Aを動画教材を使った34人、Bを演習問題を解いた26人とし、両方に取り組んだ人は12人とします。すべて同じ60人を対象に数えた結果です。

求めるのは「少なくとも一方に取り組んだ人」「動画教材だけの人」「演習問題だけの人」「どちらにも取り組んでいない人」の四つです。34人と26人は、それぞれ両方の12人を含む人数です。「だけ」の人数として与えられていない点に注意してください。

まず共通部分へ12人を置きます。次にAだけは34−12＝22人、Bだけは26−12＝14人です。少なくとも片方に取り組んだ人は、22＋12＋14＝48人。どちらでもない人は、Uの60人から48人を引いて12人です。

四領域	計算	人数
Aだけ	34−12	22人
AとBの両方	条件の値を置く	12人
Bだけ	26−12	14人
どちらでもない	60−(22＋12＋14)	12人

和集合の公式でまとめると、n(A∪B)＝n(A)＋n(B)−n(A∩B)です。今回なら34＋26−12＝48になります。公式の意味は、AとBを別々に数えたときの二重計数を一回分取り除くことです。共通部分を全部消す操作ではありません。

「片方だけ」の人数は22＋14＝36人です。式なら34＋26−2×12となります。AとBを単純に足した段階では共通部分が二回入っているので、片方だけを求める場合は二回分とも取り除きます。和集合を求めるときとの引き算の回数が違います。

補集合も同じ表で確認できます。Aに取り組んでいない人は60−34＝26人で、「Bだけ14人＋どちらでもない12人」と一致します。「両方に取り組んだわけではない人」なら60−12＝48人です。たまたま和集合と同じ48人でも、選んだ人の集まりは異なります。

二つの集合の人数が同じでも、同じ集合とは限りません。今回の和集合には両方の12人が入り、どちらでもない12人は入りません。「両方ではない人」の集合は、その逆です。人数が一致しただけで、集合式の等価性まで結論付けないようにしましょう。

人数の公式は、明治大学の講義資料「集合」の包除原理でも確認できます。ここで扱うのは有限の集まりの個数です。以後の三集合の計算も、重なりを何回数えたかを調整する考え方で進めます。

共通部分の逆算と条件不足の見分け方

次は、全体80人、Aが46人、Bが39人、どちらにも属さない人が11人という別の例です。両方に属する人数は直接書かれていません。まず「どちらでもない」の補集合が和集合なので、n(A∪B)＝80−11＝69人と求めます。

和集合の公式へ代入すると69＝46＋39−n(A∩B)です。両方の人数は46＋39−69＝16人になります。Aだけは46−16＝30人、Bだけは39−16＝23人で、四領域は30・16・23・11です。合計80人まで戻せば計算を確認できます。

ここで46＋39−80＝5人とすると誤りです。その式は和集合を80人と仮定しており、どちらでもない11人を無視しています。「全員が少なくとも片方に属する」という条件があるときだけ、全体集合と和集合が一致します。

もし11人という条件がなく、全体80人、Aが46人、Bが39人だけなら、共通部分は一つの値に決まりません。最低でも46＋39−80＝5人は重なる必要があり、最大は人数が少ないBの39人です。したがって5人以上39人以下の範囲にあると分かります。

下限の5人が重なれば、和集合は80人となり、どちらでもない人は0人です。上限の39人が重なればBの全員がAにも属し、和集合は46人、どちらでもない人は34人です。異なる配置がどちらも条件を満たすため、追加情報なしでは一意の解答を作れません。

一般には、共通部分の人数は0以上で、n(A)とn(B)の小さい方を超えません。また、同じUを対象にするなら、n(A)＋n(B)−n(U)より小さくもなれません。下限として計算した値が負なら、人数は負にならないので0を下限にします。

例えば全体80人、Aが46人、Bが39人なのに、共通部分が45人と与えられたら整合しません。Bの全39人より共通部分の方が多いからです。計算結果の負の人数や全体超過を見つけたら、まず共通部分の解釈と「だけ」の有無を読み直します。

三集合は中央の共通部分から埋める

集合が三つになると、二集合の重なりの中に三集合すべての重なりも含まれます。中心の人数を最初に置き、周囲へ向かって埋めると二重に引く誤りを減らせます。ここではUを90人、A・B・Cを三種類の学習教材の利用者とします。

与えられた条件	人数
A全体	42人
B全体	36人
C全体	30人
AとBの両方（Cの利用者も含む）	14人
BとCの両方（Aの利用者も含む）	12人
CとAの両方（Bの利用者も含む）	10人
A・B・Cすべて	5人

最初に中心へ5人を置きます。次に「AとBだけ」は14−5＝9人、「BとCだけ」は12−5＝7人、「CとAだけ」は10−5＝5人です。「AとBの両方14人」をそのままA・Bだけの領域へ置くと、中心の5人を重複させてしまいます。

Aだけの人数は42−9−5−5＝23人です。引いたのは、A・Bだけ9人、C・Aだけ5人、中心5人の三領域です。同様にBだけは36−9−7−5＝15人、Cだけは30−7−5−5＝13人になります。

重ならない領域	人数
Aだけ	23人
Bだけ	15人
Cだけ	13人
AとBだけ	9人
BとCだけ	7人
CとAだけ	5人
三つすべて	5人
どれにも属さない	13人

少なくとも一つを使った人は、円の内部にある七領域の合計で77人です。外側は90−77＝13人になります。表の一番下の13人とCだけの13人は、人数が同じでも別の領域なので、まとめて一つとして扱わないでください。

包除原理で直接求めるなら、42＋36＋30−14−12−10＋5＝77人です。中心の5人は最初の三集合の合計に三回入り、二集合の共通部分を三つ引いた後は0回になります。そこで最後に一回加えて、中心も一度だけ数えた状態に戻します。

「ちょうど二つ」を使った人は9＋7＋5＝21人です。「少なくとも二つ」なら中心も加えて26人、「ちょうど一つ」なら23＋15＋13＝51人になります。二集合の共通部分14＋12＋10＝36人を足すだけでは、中心を三回数えるため、いずれの答えにもなりません。

条件の書き方が「AとBだけで14人」に変わったら、最初からその領域の人数が示されています。この場合に中心5人をもう一度引くのは誤りです。三集合では、数値より先に「第三の集合に入る人を含むか」をそろえると式を立てやすくなります。

確認問題は領域へ戻して検算する

最後に、答えを読む前に次の独自問題を解いてみてください。全体集合Uは40人、Aは24人、Bは18人、AとBの両方は9人とします。写真のカウンターの数ではなく、この条件を使って計算してください。

• 問1：A−B、A∪B、Aᶜの人数をそれぞれ求める
• 問2：どちらか一方だけの人数と、両方に属するわけではない人数を求める
• 問3：(A∪B)ᶜとAᶜ∪Bᶜは同じ集合か。人数と領域で説明する
• 問4：同じ40人を対象に、別の集合C⊆Aかつn(C)＝8とする。A∪CとA∩Cの人数を求める

問1の答えは、A−Bが24−9＝15人、A∪Bが24＋18−9＝33人、Aᶜが40−24＝16人です。A−Bで引くのはB全体の18人ではなく、Aの中にもいる9人だと確認してください。

問2は、一方だけが24＋18−2×9＝24人、両方ではない人が40−9＝31人です。前者は二つの円の片側だけを合わせ、後者はそれに「どちらでもない」人も加えます。同じような日本語でも、外側の領域を含めるかどうかが違います。

問3は異なります。(A∪B)ᶜは40−33＝7人で、どちらでもない人だけです。Aᶜ∪Bᶜは、共通部分の外側全部なので31人です。ド・モルガンの法則で(A∪B)ᶜを書き換えるなら、Aᶜ∩Bᶜであり、∪にはなりません。

問4は、A∪Cが24人、A∩Cが8人です。Cの8人は全員Aの24人に含まれているため、和集合で追加の8人が増えることはありません。C⊆Aという包含条件を、独立した別の8人と読み違えないようにしましょう。

検算用に四領域を書き直すと、Aだけ15人、両方9人、Bだけ9人、どちらでもない7人になります。15＋9＋9＋7＝40、Aは15＋9＝24、Bは9＋9＝18となり、与えられた条件をすべて再現できます。合計だけが合うことより、各条件に戻せることが重要です。

誤答が出たときは、計算を最初から繰り返す前に誤りの種類を分けましょう。A−Bで6人ならB全体を引いています。和集合で42人なら重複を引いていません。一方だけで33人なら、共通部分が一回残っています。答えのずれから、確認すべき領域を特定できます。

表の行から和・差・共通を選ぶデータベースの問題へ進む場合は、基本情報の関係代数を具体例で理解する記事で整理できます。その場合は、何を一つの要素として比べるかが表の行になります。ここで扱った人数計算と、選択・射影・結合による表の操作は、求める結果を分けて練習しましょう。

まとめ：基本情報の集合演算の解き方

集合演算の問題は、全体集合を固定し、Aだけ・両方・Bだけ・どちらでもないの領域へ分けてから、求める範囲を選ぶ順に進めると解きやすくなります。∪は重なりも含む少なくとも片方、∩は両方、補集合はUの中の外側、差集合は左側から重なりを除いた部分です。

人数は、集合全体の数値に「両方」が含まれているかを確認して計算します。二集合なら共通部分を一度調整し、三集合なら中心から周囲へ埋めてください。最後は重ならない領域の合計と、元のA・B・Cの人数を再現します。まず上の40人の問題を、式と四領域の両方で自力で解けるか確かめてみましょう。